与数学相结合的开始大约可追溯到公元8世纪中期，处于文化鼎盛时期的阿拉伯人独立发展了折术，他们将欧洲几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学。从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之迷已经发展成为现代几何学的一个分支。折纸作为一种人们熟悉的娱乐活动，已被一些教师运用到了数学教学的过程中。 上学期，我也在学校尝试开了一门拓展性课程——折纸数理学，初步体验了折纸在数学教学中的一些应用。一学期来我在教学过程中遇到过问题，对折纸教学的现状有思考，对折纸教学的未来也有憧憬。

一．纸应用于数学教学的现状

目前我国的一些中学教师和高校教授陆续发表过文章，对折纸在数学教学中的应用作了探讨和研究。上海师范大学数理信息学院的陆新生老师于曾对01级数学与应用数学师范班的学生开设的数学教育科研方法一课中介绍了折纸与中学数学相关的一系列课题。同时，他也在上海师范大学附属中学里开设折纸数理学，以原版日本折纸书为教材，积极推广折纸在数学教学中的应用。 虽然，折纸或是作为一种专门的选修课，或是作为教学（大多是几何教学）的辅助工具有着除娱乐之外的教育功能，但它的某些教学应用价值和使用手段尚未被广大师生所认知、认可。同时，其自身还面临着来自各方面的挑战和阻力，所有的应用和教学活动也都只是在摸索和尝试的过程中。折纸应用于数学教学按其应用形式，一般有课堂上的专题讨论、课堂上应用折纸作为辅助教学工具演示几何形态、提供课后学生思考的操作题[1]、出现在试题中的探索、开放题。

1.折纸活动中丰富的数学探索

上海市青浦教育进修学院的宋伟倩、孙志远老师和华东师范大学数学系的黄荣金老师以“如何在操作中让学生体验数学发现的过程，感悟数学思想方法和本质”[2]作为研究的主题在课堂上讨论了“用纸片折几何图形”的课题。问题是让学生思考能否将一张长方形纸片折出等腰三角形，用直角三角形以及任意三角形纸片折成一个长方形（要求重叠部分只能有两层纸）。学生们通过折纸活动和小组交流发现了很多不同的折法，然后各自分别在实物投影上演示折纸过程，并说明理由。江苏省武进高级中学的刘绍周老师曾尝试以作业的形式要求学生在课后完成几何体的制作，然后在上课时展示其制作的过程[3]。材料是一张16K纸，要求是将它折叠或剪下后拼成三棱锥，并且不能废料。后来分别有五位同学展示了他们不同的巧妙做法。 我国山西省中考题中的一道探究型考题就以一张矩形的纸进行折叠，给出操作过程，在第（1）题中让学生确认并证明其中的数学现象，并且在第（2）题中提出对任意矩形这种折法是否具有普遍性的问题请学生探索[4]。这些鲜活的案例都取得了良好的教学效果，在课堂中、课堂外都提高了学生学习数学的热情。又由于折纸的内容在考题中的出现，使一些学生对折纸教学重视了起来。

2.折纸在数学教学中的困境

尽管折纸活动进入课堂对活跃课堂气氛、调动学生学习数学的积极性等方面起到了明显作用。然而折纸的数学教学功能依然没有被广大师生所认知，折纸在数学教学中的应用依然不普及。归纳起来，大致有

1.教学课时紧，而折纸与教材内容相关不大，比较费时间；

2.师资缺乏，广大师生没有这方面的认知，无人认可，不被推广；

3.不利于低年级学生集中思想，高年级同学又觉得对问题研究太复杂；时代性不强，展示能力不如计算机好。

二．折纸的教学优势

折纸不仅可以作为几何教学的辅助工具，即帮助学生形象地认识到一些较为抽象的空间图形，而且还是一种学习数学、探究数学、创新数学知识点的载体。折纸过程中所体现出来的许多几何的概念，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何形状；对角线、中点、垂直平分线等几何名称；全等、勾股定理等几何法则；内接、面积及其他一些几何代数的概念，就给学生提供了弥补思维过程中断缺的部分，符合学生认知的习惯。我们现行的教学方式难以给学生创造出实验、直觉判断、合情推理这样的认知过程，也不能给学生根据自己的能力得到不同层次结论的机会。而相比之下，折纸的应用能有助于激励每一个学生参与到力所能及的探索中，它能提供学生仔细观察，广泛联想，多方向、多角度、多层次去思考的机会，因此它是发展学生高层次思维品质的有效材料。在折纸过程中去体验数学研究中的一些方法，其研究趣味浓、探索性强，学生能通过观察、尝试、猜测、转移、类推、特殊化等途径去认识到其中的数学原理，同时也培养了学生树立一种形成正确的答案或解题方案可能不止一个的数学观。 其次，折纸符合新课标倡导“自由、合作、探究”的学习方式，使学生获得生动活泼的、主动而富有个性的发展；新课程四大学习领域之一“空间与图形”主要表现的内容是能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体或画出图形。其中再次提出学生动手操作在数学几何教学中的重要作用。新课程标准还提出，数学课程的基本出发点是促进学生全面、持续和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。强调从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。折纸活动让学生动手实践就是遵循了这一基本出发点，使他们在获得知识的同时，在思维开发、动手能力方面都有更大的进步。 另外，用折纸的方法来探索数学结论这种教学方法具有普适性。折纸就其本身而言，取材方便，只需要我们日常生活中最常见的纸，不受时间，场合的限制。而且，它的操作过程简明易懂，一般的同学都能接受，不论是学习能力好的或是欠缺的同学都能参与进行。它是一种大众的教学而非英才教育，这与当前倡导的“人人学习有用的数学；人人学习想学的数学”是一致的。所以，折纸在数学教学中具有——改善课堂气氛；培养学生的学习热情和探索能力；能有效阐述数学原理；解决论证难以解决的问题等优势。

三．折纸在数学教学中应用的建议

1. 折纸自身教学资源的进一步提升

i.对纸张的进一步开发

在折纸的教学过程中，折痕线是非常重要的教学痕迹，为了更好地呈现折纸中的数学原理，建议可以用有网格的折纸，这样折痕线的位置就方便考察，有些操作也就能更方便，更精确一些。比如，在讨论“决定一次折返片形状的顶点分布图”[5]的操作时，为了观察点的位置分布，找出规律，学生将纸张进行反复折叠形成网格来探究，这样要花去不少课堂内的时间，同时也增加了纸张的褶皱。如果换成带有网格的纸张，就可以减少画网格的时间，也使折叠出来的折痕效果更清晰，便于观察。所以如能研制出专门的数学教学专用折纸纸张，能有网格来表示坐标#p##e#，有不同的颜色来表示折叠后的区域等特殊性质，那么不仅是解决了上述调研中引发的问题，也是促使折纸教学进一步专门化的一种方法。

ii.多媒体辅助教学

现在许多数学内容已制作成多媒体课件，为的是使学生能更好地理解。一些复杂、难以精确画出的几何图形已无须教师费时在黑板上画出。所以在折纸课上，我们可以保留让学生折纸操作，但是在教师示范展示时可以结合同步计算机几何画板或Flash动画的演示，这样既能使每一步操作留下先后顺序的痕迹，又能使坐在不同位置的学生都观察到放大了的清晰画面，起到了单一教学法所不能起到的效果。

iii.建立科学完备的教学体系

日本和我国同属东亚文化系统，他们的数学教材颇具东亚文化传统，十分重视课题学习，力求实现使学生参与操作、观察、实验等活动的目标。在新初中数学教学大纲的教学内容中，如让学生测量A4、B4纸的长和宽，再将其对折得到A5、B5纸，依次类推，从得到的数据中发现长宽之比为定值、各图形间的相似关系等性质[6]。新高等学校数学课程的教材数学基础中的一章“数学和人类的活动”中，用“芳贺第一定理”来展现平面图形的教学内容。这样就很自然、流畅地将折纸引入数学教材中，进入数学课堂。所以，在折纸教材选择的问题上，我们也可以借鉴日本的经验，当然还要符合我国学生的实际情况，细分各年级的适应程度，对内容做相应的增减和调整。充分考虑不同年级学生的数学课内容和课时进度，以不同难易程度的折纸教学与之相适应，在适当的章节中推荐教师使用，同时配以练习，留给学生在课外思考。这样就能解决折纸内容与教材无关这一矛盾了。

另外，在开设选修课之前，可以先举办一个讲座或是进行适当的宣传，目的是让学生们了解折纸课真正的内容。因为，大多数学生在接触折纸课之前并不了解这门课程的真正内容，而选修课本来就应该是学生凭自己的喜好和需要来选择，如果学生并不真正了解该课程而在将来选修的过程中十分勉强甚至后悔，则就违背了学校开设选修课的初衷了。

iv.教学力量的加强

针对师资的缺乏，教学力量薄弱这一问题，就应该从教师自身素质的提升做起。当然这要靠专家对新手的宣传和培训。最好我们能先确立前面提到的专门教学材料和课程设置，提倡一部分人先用起来，各个学校进行交流，以点带面。国外有折纸协会，我们也可以成立自己专门的折纸协会，从事收集案例，交流经验，翻译国际上优秀教材从而转换为适合中国国情的教材，开展教师的培训等工作，以次来普及、提高我国的折纸教学，获得社会更多的认可。

2.外界教学氛围的支持

目前教学的气氛和观念是在以往应试教育这种时代下所形成的，这种急功近利的教学气氛使得教师不舍得占用较长教学时间去研究与考试不太相关的、教材上不曾出现过的、从前的教学经验中不曾涉及到的新内容。学生当然也不愿意把本来就很宝贵的时间用到这一类新事物中去，虽有兴趣，但也只能望之兴叹。甚至有些学生认为学习折纸中的数学，仅在折纸的具体操作时是有趣的，在发现其中的数学现象时是兴奋的，但在确认数学原理时的计算或是证明是复杂的、枯燥无味的，因此而远离了折纸教学。当然，我们不否认数学的计算或证明是以简洁为最佳，也是教师在教学过程中提倡学生去追求的，但并不是所有的数学结论和方法都应该是轻松简单的，这不是我们在数学探索的道路上应有的科学观和应具备的品质。

所幸的是，随着时代的进步，我国教育部十分关注学生的成长、成材，并寄予了极大的期望。“二期课改”的新精神给我们的教育注入了新的活力。目前很多有条件的学校已经开始在学校里开设多种选修课，给学生提供第二课堂，在抓升学率的同时，更保证了学生的学能与学习兴趣的培养。只有在这种教学环境下，折纸教学才能有的放矢地开展。但是改革是需要时间的，新事物也只有在实践过程中，体现出其优势时，才会被大家所接受。我们希望广大师生能大胆尝试，给予这类新的好的教学法以支持和响应，使它们在教学中发挥出应有的价值。

四．结束语

本文仅在学习了部分相关书籍，根据笔者的一些亲身体验及心得写成，希望不仅能给目前的教改提供一种可参考的新式教学法，也能给类似折纸这样能激发学生的探索能力、培养动手能力；形成生活化、趣味化、形象化的数学观；提高数学教学的其他方法，应如何应用于课堂教学、优化数学教学提供了一个实例以作借鉴。 对于折纸教学应用建议的可行性，以及怎样将建议较好地实施是有待于进一步探讨和研究的课题。笔者希望有志于数学教学工作、热忠于折纸教学的老师和同学们共同来关心、探索、发展我国的折纸教学事业。

参考文献

[1]张思明，白永潇编著数学课题学习的实践与探索，高等教育出版社，2003年8月第1版。

[2]宋伟倩，黄荣金在折纸活动中“想”数学和“说”数学，数学教学，2004年第5期，封二4

[3]刘少周小纸片简单几何制作的研究性学习，数学教学，2004年第11期，1415

[4]何昌俊，初永梅探究型中考题说，数学教学，2004年第1期，33

[5]芳贺和夫著折纸数理学的课堂教学（日文），明治图书，1996

[6]陆书环，傅海伦编著数学教学论，科学出版社，2004年3月第一版，245249

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